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The secret of fractal objects ...
The fractal methodology is used in medicine, biology, physics, meteorology, etc. It consists in exploiting the fractality that resides in an autonomous system to understand the evolution of the dynamics of the system at different scales. For example, the heart receives a lot of information from its multiple vessels subdivided fractally. Each vessel sends a flow that goes back to the heart muscle which instantly orders those information in a steady beat while ensuring gas exchange.
In terms of forecasts, the indicator of an accelerated heart rate may correspond to the intensity of physical exertion.
However, during periods of intense sport, turbulence, the normal law does not manage to capture the thick tails of distribution. Traditional methods of predicting such an indicator, use the normal law. Only fractal laws account for a laminar or turbulent state of the dynamic system. This is the reason why the fractal methodology is more precise than the traditional method which is a particular case.
The fractal form of the clouds decorated by the rays of sun: beach of Saint Valery (80) on Somme, summer 2016
Fractal behavior of birds: seagulls, Berck beach (85), summer 2016.
The fractal position in flight
L’effondrement du modèle néoclassique en finance de marché : vers une approche fractale des marchés ?
(Source : Economie financière et théorie du chaos, Buissonnière Aurélien, Reynaud Rodolphe)
Le krach des marchés mondiaux de l’automne 2008, a entrainé un grand nombre de controverses au sein des analystes économiques. Les cambistes ont répété des mouvements spéculatifs et ont privilégié la rentabilité d’un panier d’actifs intégrant des éléments de mauvaise qualité ou toxiques, en référence au CDO comprenant les subprimes. Cette répétition de spéculation a multiplié des risques à différentes échelles créant ainsi les dépendances élevées et des pertes extrêmes que l’hypothèse de normalité de la distribution ne peut capturer.
(Figure : Dow Jones krach 2008)
La théorie néoclassique se trouve confrontée à la réalité de l’inefficience des marchés et doit faire appel à tout un ensemble de techniques mathématiques pour comprendre la complexité de l’ordre qui peut résider dans la structure des marchés financiers. Mais avant de proposer une nouvelle théorie, il est nécessaire de comprendre la théorie actuelle.
En 1962, en observant une courbe des prix du coton lors d’une conférence à Harvard, Benoit Mandelbrot fait remarquer que les fluctuations de prix sur le marché suivent non pas une loi de Gauss, mais une loi de puissance. Conséquence pour Mandelbrot : les événements extrêmes et peu probables ne sont pas rejetés. Les krach peuvent exister. Le concept de finance « anormale » prend son essor.
Mandelbrot démontre que « La finance ne respecte pas la loi de Gauss et les évènements improbables se produisent infiniment plus souvent que ne l'indique la "normalité" classique ».
D’où vient cette hypothèse de loi normale ?
Jules Regnault, en 1863, plus d’un siècle après la création de la Bourse de Paris, présenta un modèle financier pour permettre d’étudier la variation des cours boursiers. Objet principal de son étude : démontrer les dangers d’investissement grâce à la science. Il va dès lors jusqu’à adopter la loi normale, comme seule loi de probabilité fiable, dans la mesure où elle régit la totalité des systèmes sociaux. Plusieurs conséquences découlent de l’application de la loi normale au marché. La symétrie autour de la moyenne implique que la probabilité d’une baisse soit identique à celle d’une hausse. La Bourse est donc nécessairement juste, les spéculateurs sont donc un jour ou l’autre ruinés. De plus, la Bourse est équitable, les acteurs économiques sont dans une situation égale, dans la mesure où elle obéit aux lois de la nature.Jules Regnault, en 1863, plus d’un siècle après la création de la Bourse de Paris, présente un modèle financier pour permettre d’étudier la variation des cours boursiers. Objet principal de son étude : démontrer les dangers d’investissement grâce à la science. Il va dès lors jusqu’à adopter la loi normale, comme seule loi de probabilité fiable, dans la mesure où elle régit la totalité des systèmes sociaux. Plusieurs conséquences découlent de l’application de la loi normale au marché. La symétrie autour de la moyenne implique que la probabilité d’une baisse soit identique à celle d’une hausse. La Bourse est alors nécessairement juste, les spéculateurs sont donc un jour ou l’autre ruinés. De plus, la Bourse est équitable, les acteurs économiques sont dans une situation égale, dans la mesure où elle obéit aux lois de la nature.
Louis Bachelier, en 1900, approfondit l’étude de Regnault et la développe. Par l’impulsion de son directeur, Henri Poincaré, Bachelier mène une étude sur le très complexe mouvement brownien. Il analyse le mouvement encore inexpliqué d’une particule entourée de molécules. Une conclusion certaine lui parvient : il y a un temps mesurable entre chaque mouvement, qui permet aux molécules plus petites de changer de direction. Il y a dès lors une liaison du mouvement de la particule et des molécules. Chaque mouvement est alors indépendant du précédent. L’expression de « marche de l’ivrogne » ou de « marche aléatoire » apparaît.
Pour l’illustrer, un célèbre exemple : « La fumée de cigarette qui se dissipe dans l’atmosphère suit le même mouvement brownien, vous ne verrez jamais deux fois le même. Mais au bout du compte, le résultat est toujours le même : la fumée se dissipe dans l’air ».
En quoi l’étude de Bachelier sur le mouvement brownien intervient-elle en quelconque lien avec l’économie financière ?
La démonstration de Bachelier est édifiante : le cours de la bourse d’une société peut être assimilé à une particule dont le mouvement est déterminé par des millions d’achats et de ventes. Les acheteurs ne se connaissent pas, mais la somme des transactions provoque une fluctuation du cours. Comme il y a de très nombreux acheteurs et vendeurs, le concept de « marche aléatoire » peut être appliqué. Le cours peut évoluer autant à la hausse qu’à la baisse. Les différents mouvements suivront donc une courbe de Gauss : la loi normale.
Bachelier a adopté les équations du domaine de la physique pour les appliquer aux problèmes de la finance sans la moindre démonstration mathématique. La logique demanderait que la situation physique nous renseigne elle-même sur sa propre loi, puisque celle-ci peut changer suivant les opérations. Il se trouve que la loi normale n’est pas adaptée aux marchés financiers et pour comprendre cette incohérence, il convient de dérouler un à un les outils utilisés.Les actifs financiers sont assimilés à des variables aléatoires (flux incertains). Le risque est modélisé par l’écart-type et le gain par l’espérance mathématique qui représente une moyenne et donc le cours passé n’est pas indépendant du cours d’aujourd’hui, comme le prétend l’hypothèse posée. De plus, la moyenne sous-estime les valeurs extrêmes. Or c’est précisément ces valeurs qui créent des risques que l’on cherche à minimiser. Prenons l’exemple d’un groupe de 11 joueurs de foot, sélectionnés au hasard. La mesure de leur taille peut varier entre 1,70 m et 2m. La moyenne peut se situer autour de 1,78 m. Si l’on introduit un individu de 2,30m, la moyenne ne va bouger que sensiblement vers 1,82m et reste représentative du groupe. La distribution engendrée peut être représentée par la courbe en cloche de Gauss.
Maintenant, prenons toujours le même groupe de joueurs et étudions leur distribution de revenus. Supposons qu’ils gagnent autour de 100 000 € par mois. La moyenne de leur revenu sera de 100 000 € par mois. Si nous introduisons un footballeur bien connu, Zinedine Zidane, qui gagne 2 500 000 € par mois, la moyenne évolue à 300 000 € par mois, ce qui n’est pas représentatif du groupe. On est en présence d’une loi puissance qui représente bien la distribution de revenus du groupe. Ces observations suffisent pour dire qu’à chaque situation correspond une loi physique et que le modèle néoclassique ne doit pas imposer la loi normale à toutes les situations de la finance de marché.
Un autre outil utilisé pour anticiper le risque est la volatilité. En premier lieu, la volatilité conditionnelle qui représente l’ampleur des fluctuations des cours permet d’extraire la partie anticipée de la volatilité historique, elle-même définie généralement à partir de l’écart-type des variations du cours passé. Elle va donc permettre de gérer le risque et de calculer le prix des options. Le niveau de volatilité ne se soucie guère de la tendance haussière ou baissière de l’action, la volatilité s’attache à l’amplitude de la variation. Elle est donc basée sur les conditions passées et ne tient en aucun cas compte des événements aléatoires pouvant bouleverser les cours, ni de la fréquence de ces évènements, ni de leur intensité. Elle permet par ailleurs de prévoir la persistance ou la « non-persistance » des fluctuations. En second lieu, la volatilité implicite des options de change représente les anticipations du marché sur les variations futures. Elle va refléter le « prix du risque » attaché à une option. Sa valeur est « estimée » par le marché.
La volatilité implicite est souvent considérée comme la meilleure prévision des fluctuations futures d’un titre. Toutefois, l’extraction de cette volatilité anticipée requiert d’inverser une formule d’évaluation d’option de Black & Scholes, conçue pour une volatilité constante et connue. La volatilité implicite va donc à l’encontre d’une vision stochastique, car elle trouve sa source dans des événements passés.
(figure : vol CAC40)
La crise des subprimes, qui a, à l’origine, pris essence aux Etats-Unis en 2007, peut être considérée comme l’un des plus grands désastres financiers du siècle. Pour la première fois, des problèmes venant d’un seul pays ont plongé l’économie mondiale dans une sérieuse récession : le marché de l’immobilier s’est effrondré aux Etats-Unis, des banques ont fait faillite aux Etats-Unis et en Europe, des états sont au bord de la faillite, l’économie est ralentie.
C’est l’approche déterministe des marchés financiers. Seulement, un des éléments avérés qui causeraient la plupart des anticipations défaillantes est la non-efficience des marchés. On ne peut pas tout savoir ni tout prévoir par l’approche déterministe. Le fait est qu’une action grimpe ou plonge, par rapport à des perspectives plus ou moins prometteuses. Ces perspectives se traduisent par une anticipation des investisseurs. Il s’agit d’un domaine psychologique, encore plus délicat à prévoir.
Une autre conséquence est la notion de variation continue, utilisée en finance pour établir chacune des théories : établissement du portefeuille de Markovitz, modèle de Sharp ou encore formule de Black & Scholes. Cette dernière suppose que les variations sont effectuées lentement d’une valeur à l’autre. En ce sens qu’il n’y a pas de grand saut entre les prix. Avec cette supposition, il est possible d’utiliser les fonctions continues ou les équations différentielles, ce qui contredit la réalité.
Les fondements mêmes de la théorie néoclassique ne tiennent pas compte de la réalité : interdépendance, fréquence et amplitude des mouvements extrêmes. Or de nos jours, il est possible de coller au plus près de la réalité sans faire d’innombrables calculs et d’ajuster les indicateurs au fur et à mesure.
La réponse à cette incohérence avec la réalité vient de la géométrie fractale initiée par Benoit Mandelbrot, cette branche des mathématiques très dures, qui combine la topologie, l’analyse fonctionnelle, la géométrie différentielle et dont l’objectif principal est de repérer des régularités dans la turbulence pour créer un modèle multifactoriel propre à la situation physique. Cette approche est connue sous le nom de théorie du chaos et aborde les fractales. Comment s’organise son application en finance ? Comment conceptualiser un marché financier avec cette branche des mathématiques ?
« Le battement d'ailes d'un papillon au Brésil peut-il déclencher une tornade au Texas ? ».
Edward Lorenz en 1972, devant l’Association Américaine pour le progrès des Sciences, met en lumière cette hypothèse. L’effet papillon ainsi présenté est né. Il connait, immédiatement, un succès médiatique mondial. Toutefois, la théorie mathématique sous-jacente est fort complexe. La théorie du chaos explique qu’il n’existe rien de déterministe et que le monde n’est donc pas prédictible. Edward Lorenz est météorologue au Massachusetts Institute of Technology et il étudie les mouvements des masses d’air de l’atmosphère pour effectuer des prévisions du temps. Pour cela, le scientifique utilise les lois de Newton, qui se révèlent fructueuses en calcul de trajectoire et donc en prédiction de mouvement. Cela était déjà le cas en astronomie, lors des calculs des trajectoires elliptiques des planètes, ou encore pour les déplacements d’autres corps comme la propagation du son, de la chaleur... Il s’agissait pour cela de traduire le mouvement avec des équations différentielles, puis de les résoudre. L’avenir se calculait, et devenait de la sorte prévisible, ou tout du moins presque.
En matière de prévisions, deux cas se présentaient : ou bien la valeur exacte était calculée par de nombreux calculs et des récupérations de données initiales ; ou bien, la tendance du phénomène suffisait à effectuer des prévisions, par le calcul des moyennes, sachant qu’elles n’étaient pas exactes. C’est en cette différenciation que Lorenz se distingue. Le météorologue préfère l’exactitude du phénomène à sa prévision.
La rupture avec la linéarité : l’approche fractale des marchés financiers
La crise financière a révélé la fragilité de certains modèles d’évaluation des actifs financiers. La majorité des modèles prend imparfaitement en compte les mouvements brutaux du marché lors de crises ou d’événements extrêmes ou encore des dépendances internes au marché des capitaux. Il y a un problème fondamental dans la finance moderne : ce n’est non pas la finance elle-même qui est en cause, mais la façon de l’aborder. Tout est utile dans la finance et les marchés financiers sont extrêmement précieux.
L’apport théorique des mathématiques fractales à la finance est la « turbulence ». En effet, en considérant que les marchés sont « turbulents », les fluctuations peuvent être considérées comme beaucoup plus violentes que par l’approche linéaire. D’étranges similitudes apparaissent entre la turbulence des marchés et celle des fluides.
(figure : marché turbulent)
(figure : vent turbulent)
La « boîte à outils » mathématique de Mandelbrot permet d’anticiper l’irrégularité. Il s’agit de « repérer la structure dans l’uniforme ». Cette géométrie est bien entendu la géométrie fractale.
Comment aborder une fractale ? L’approche fractale utilise un homomorphisme structurel pour modéliser les actifs financiers. Elle considère qu’un processus évolutif ne demeure plus déterministe, comme exposé par la théorie financière néoclassique, mais évolue entre ce déterministe et l’aléatoire en conservant ses propriétés mathématiques.
« Une fractale est dotée d’une forme spéciale d’invariance ou de symétrie, qui relie le tout à ses parties », selon Benoît Mandelbrot.
Un des meilleurs moyens d’expliquer une géométrie fractale est d’exposer des images et de les représenter par des homomorphismes pour illustrer « la régularité » dans l’irrégularité.
(figure : flocon de neige)
La première courbe fractale est le Flocon de Koch, mathématicien suédois, qui décrivit une construction voulant défier les bases mathématiques. Il utilise astucieusement des triangles pour construire un flocon. Il obtint ainsi des fractales linéaires régulières (à gauche) et des fractales non linéaires irrégulières (à droite).
Benoit Mandelbrot met au point une équation de récurrence toute simple. zn+1 = zn^2 + C, avec z0 = 0. A partir de celle-ci, il effectue des modélisations informatiques et obtient des résultats complexes. L’image obtenue est la suivante :
(figure : image ensemble de Mandelbrot)
De là, plusieurs défaillances sortent corrigées : l’identification des événements extrêmes, les asymétries des taux de rentabilité, les dépendances, la rugosité. Les mathématiques fractales donnent une réponse réaliste aux marchés financiers. Les marchés sont bien turbulents et leurs diagrammes présentent les mêmes irrégularités que les formes géométriques fractales.
La géométrie fractale va construire des analyses picturales et visuelles du marché. Le marché a alors une mémoire, c’est la réfutation de la « marche de l’ivrogne », fondatrice des travaux de Bachelier sur le mouvement brownien. Mandelbrot, par un modèle au départ fractal, puis multi-fractal, développe un nouveau modèle financier, permettant d’anticiper les risques.
La rupture intellectuelle s’organise alors autour de ces fractales. Elle permet de mettre en perspective toutes les interrogations intervenues après la plus récente crise des subprimes. La critique du modèle classique a donc été progressive et n’est pas achevée. Les travaux de recherche continuent et au terme de chaque année des conclusions empiriques parviennent et reflètent plus la réalité que ne le fait le modèle néoclassique, manifestement erroné.
La crise de 2008 portait un message que le marché n’a pas entendu. L’irrégularité se dissimule dans la vie de tous les jours et se retrouve enfouie dans les cours boursiers. Il nous reste à la modéliser.